풀이 8.3.2

1985년 전국에서 15세부터 29세까지의 사람 중 1,000명을 단순임의추출하여 결혼 상태를 조사하였더니 미혼 상태인 사람이 63.5%이었다. 1995년에 다시 1,000명을 독립적으로 단순임의추출하여 조사하였더니 미혼 상태인 사람이 69.8%이었다. 이 사실로부터 최근 들어 결혼을 늦게 하는 경향이 있다고 할 수 있는가? 즉, 1995년에 15세-29세의 인구 중 미혼상태인 인구의 구성비가 1985년에 비해 더 높아졌다고 할 수 있는가를 유의수준 5%에서 검정하라. $p$-값은 얼마인가?

이 문제의 가설은 $H_{0}:p_{1}=p_{2}$, ${H}_{1}{:}{p}_{1}{<}{p}_{2}$ 이므로 선택기준은 다음과 같다.

${\frac{{\hat{p}}_{1}{-}{\hat{p}}_{2}}{\sqrt{\frac{\bar{p}{(}{1}{-}\bar{p}{)}}{{n}_{1}}{+}\frac{\bar{p}{(}{1}{-}\bar{p}{)}}{{n}_{2}}}}}$
$<-z_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$ 기각, 아니면 $H_{0}$ 채택’

${\hat{p}}_{1}$ = 0.635, ${\hat{p}}_{2}$ = 0.698 이므로 $\bar{p}$와 통계량의 계산은 다음과 같다.

$\bar{p}=\frac{1000times0.635+1000\times{0.698}}{1000+1000}=\frac{0.635+0.698}{2}=0.667$

${\frac{{\hat{p}}_{1}{-}{\hat{p}}_{2}}{\sqrt{\frac{\bar{p}{(}{1}{-}\bar{p}{)}}{{n}_{1}}{+}\frac{\bar{p}{(}{1}{-}\bar{p}{)}}{{n}_{2}}}}}$
= $\frac{0.635-0.698}{\sqrt{\frac{0.667(1-0.667)}1000+\frac{0.667(1-0.667)}1000}}$ = -2.989

-$z_\alpha$ = -$z_{0.05}$ = -1.645

그러므로, 가설 $H_{0}$ 는 기각된다. 즉, 미혼상태 인구의 구성비가 1985년에 비해 1995년에 더 높아졌다고 할 수 있다. 그리고 $p$-값은 다음과 같다.

$p$-값 = $P(Z<-2.989)$ = 0.0014

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